ANALISIS VECTORIAL

# Magnitud Física Es todo aquello que se puede medir. ## Clasificación de Magnitudes por Naturaleza - **Magnitud Escalar:** Magnitud definida por completo mediante un número y la unidad de medida correspondiente. Son magnitudes escalares: temperatura, masa, área, volumen, energía, etc. - **Magnitud Vectorial:** Magnitud que para estar completamente definida requiere de una orientación. Son magnitudes vectoriales: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, etc. ## Vector Es una flecha, ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado que sirve para representar las magnitudes vectoriales. Tienen **módulo** o tamaño (siempre un número), **dirección** (ángulo medido a partir del eje +x en sentido antihorario) y **sentido** (indicado por la punta de la flecha). ## Notación Fasorial  Se denotan por un fasor: \( \vec{A} = A < θ \) Donde: - \( A \) = Módulo del vector \( \vec{A} \) - \( θ \) = Dirección del vector \( \vec{A} \)

# Operaciones Vectoriales ## a) Suma o Composición Vectorial Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado **vector resultante** \( \vec{R} \), el cual es igual a la suma de todos los vectores. - Sean \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) vectores: \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \) - Sean \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) vectores: \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{C} + \vec{B} + \vec{A} \) ## b) Resta o Diferencia de Vectores Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado **vector diferencia** \( \vec{D} \), el cual es igual a la resta de vectores. - Sean \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) vectores: \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)

## a) Método del Triángulo Se pone un vector a continuación de otro y el vector que cierra el triángulo es la resultante.  ## b) Método del Polígono Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de varios vectores coplanares. Es un método gráfico que consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus módulos, direcciones y sentidos. El vector resultante \( \vec{R} \) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.   Se llama **polígono vectorial cerrado** cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo (no necesitan resultante para cerrar). Un grupo de vectores que se cierran solos y en secuencia se anularán entre sí, se equilibrarán ya que su resultante será cero. ## c) Método del Paralelogramo Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.  \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) # Ley del Coseno para la Suma Se utiliza para hallar el módulo de la resultante: \( R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos α} \) ## Casos Particulares *A. Resultante Máxima* Si α = 0° los vectores apuntan en el mismo sentido, se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante:  \( R_{MAX} = A + B \) *B. Resultante Mínima* Si α = 180° los vectores apuntan en sentido opuesto, se obtiene el menor valor posible de la resultante:  \( R_{MIN} = A - B \) Entonces se cumple: \( R_{min} \leq R \leq R_{max} \) Si \( \vec{A} \) forma un cierto ángulo con \( \vec{B} \): \( R_{min} < R < R_{max} \) *C. Vectores Perpendiculares* Si α = 90° ( A ⊥ B ) se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:  \( R = \sqrt{A^2 + B^2} \) ## Propiedades Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo x: - Si α = 90°: \( R = x\sqrt{2} \)  - Si α = 60°: \( R = x\sqrt{3} \)  - Si α = 120°: \( R = x \)  ## Comentarios **A.** Si tres vectores iguales forman entre sí ángulos de 120°:  \( R = 0 \) **B.** Si dos vectores de módulo 3x y 8x forman entre sí ángulos de 120°:  \( R = 7x \)

# Ley de los Senos  \( \dfrac{R}{\sin θ} = \dfrac{A}{\sin α} = \dfrac{B}{\sin β} \) # Diferencia y Ley del Coseno para la Resta  La diferencia se obtiene uniendo las saetas de los vectores que se restan y la punta de la resultante se dirige del sustraendo al minuendo. \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} \) \( D = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos α} \) # Método de Descomposición Vectorial Operar dos vectores se vuelve más sencillo si antes lo "partimos" (descomposición) en dos vectores, uno en el eje X y el otro en el eje Y. ## Componentes Rectangulares de un Vector  Son vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí: - \( A_x \) = Componente rectangular en X del vector \( \vec{A} \) - \( A_y \) = Componente rectangular en Y del vector \( \vec{A} \) Se cumple que: \( A_x = A \cos α \) \( A_y = A \sin α \) ## Pasos del Método de Descomposición Vectorial - 1° Se hallan las componentes rectangulares. - 2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados \( (R_x, R_y) \) - 3° Se calcula el módulo de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente. \( R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \) \( an θ = \dfrac{R_y}{R_x} \) - Si la dirección de \( \vec{R} \) es horizontal: \( R_y = 0 \) - Si la dirección de \( \vec{R} \) es vertical: \( R_x = 0 \) - Si \( \vec{R} = 0 \) (nula): \( R_x = R_y = 0 \)