MONOMIOS

Monomio Es un Término Algebraico racional entero, es decir, con exponentes enteros y positivos (incluido el cero). Ejemplo: $$-4x^5y^4z^2$$ Donde: — $-4$ : Parte Constante (coeficiente) — $x^5y^4z^2$ : Parte Variable Observación: Un monomio puede ser: — Una constante: $5$ — Una variable: $x$ — El producto de una constante por una o más variables: $3x^2y$ Al expresar $M_{(x,\, y)}$ indicamos que es un monomio de 2 variables.

Grado Absoluto (G.A.) Está dado por la suma de los exponentes de todas las variables del monomio. Ejemplo: $$M_{(x,\,y)} = 4^2x^4y^6$$ $$GA(M) = 4 + 6 = 10$$ Ejemplo resuelto: En el monomio $M_{(x,\,y)} = 2x^{a+2}y^3$ cuyo $G.A. = 10$, hallar $a$. Solución: El grado absoluto es la suma de los exponentes: $$(a+2) + 3 = 10$$ $$a + 5 = 10$$ $$\boxed{a = 5}$$

Grado Relativo (G.R.) Está dado por el exponente de la variable en mención. Ejemplo: $$N_{(x,\,y)} = 6x^3y^4$$ $$GR(x) = 3 \qquad GR(y) = 4$$ Ejemplo resuelto: En el monomio $M_{(x,\,y)} = 4^4x^{2n-5}y^6$, calcular $n$ si el grado relativo respecto de $x$ es igual a 15. Solución: El grado relativo de $x$ es el exponente de $x$: $$2n - 5 = 15$$ $$2n = 20$$ $$\boxed{n = 10}$$

Ejemplos resueltos — G.A. y G.R. con incógnitas Ejemplo 1: En $M_{(x,\,y)} = 4x^{a+3}y^6$ con $G.A. = 12$, hallar $a$. Solución: $$(a+3) + 6 = 12$$ $$a + 9 = 12$$ $$\boxed{a = 3}$$ Ejemplo 2: En $M_{(x,\,y)} = 3x^{n-4}y^6$ con $G.A. = 12$, calcular $n$. Solución: $$(n-4) + 6 = 12$$ $$n + 2 = 12$$ $$\boxed{n = 10}$$ Ejemplo 3: En $M_{(x,\,y)} = 3x^{n-8}y^{5n}$, calcular $GR(y)$ si $GR(x) = 12$. Solución: Primero hallamos $n$ usando $GR(x)$: $$n - 8 = 12 \Rightarrow n = 20$$ Luego: $$GR(y) = 5n = 5(20) = \boxed{100}$$ Ejemplo 4: En $M_{(x,\,y)} = 5x^{2n-1}y^{n+5}$, calcular $GR(x)$ siendo $GR(y) = 10$. Solución: Hallamos $n$ con $GR(y)$: $$n + 5 = 10 \Rightarrow n = 5$$ Luego: $$GR(x) = 2n - 1 = 2(5) - 1 = \boxed{9}$$

Hallar el coeficiente dado G.R.(x) y G.R.(y) Cuando el coeficiente depende de incógnitas $a$ y $b$, usamos los grados relativos para encontrar sus valores y luego calculamos el coeficiente. Ejemplo 1: En $M_{(x,\,y)} = (a+b)x^{2a-4}y^{b-3}$ con $GR(x) = 12$ y $GR(y) = 14$, hallar el coeficiente. Solución: $$2a - 4 = 12 \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$$ $$b - 3 = 14 \Rightarrow b = 17$$ $$\text{Coeficiente} = a + b = 8 + 17 = \boxed{25}$$ Ejemplo 2: En $M_{(x,\,y)} = (2a+b)x^{a-6}y^{b+7}$ con $GR(x) = 8$ y $GR(y) = 9$, hallar el coeficiente. Solución: $$a - 6 = 8 \Rightarrow a = 14$$ $$b + 7 = 9 \Rightarrow b = 2$$ $$\text{Coeficiente} = 2a + b = 2(14) + 2 = \boxed{30}$$ Ejemplo 3: En $M_{(x,\,y)} = (a^2 + b^3)x^{3a+b}y^{2a+5b}$ con $GR(x) = 10$ y $GR(y) = 11$, hallar el coeficiente. Solución: Sistema de ecuaciones: $$3a + b = 10 \quad (1)$$ $$2a + 5b = 11 \quad (2)$$ De (1): $b = 10 - 3a$. Sustituimos en (2): $$2a + 5(10-3a) = 11 \Rightarrow 2a + 50 - 15a = 11 \Rightarrow -13a = -39 \Rightarrow a = 3$$ $$b = 10 - 3(3) = 1$$ $$\text{Coeficiente} = a^2 + b^3 = 9 + 1 = \boxed{10}$$

Monomios con potencia exterior Cuando un monomio tiene la forma $M = k\left[x^p y^q\right]^r$, primero se distribuye el exponente exterior: $$M = k \cdot x^{p \cdot r} \cdot y^{q \cdot r}$$ Y el $G.A. = p \cdot r + q \cdot r$ Ejemplo 1: El monomio $M_{(x,\,y)} = 27\left[x^{3n+2}y^{n+1}\right]^4$ es de grado 28. Calcular $n$. Solución: Distribuimos el exponente 4: $$GA = 4(3n+2) + 4(n+1) = 28$$ $$12n + 8 + 4n + 4 = 28$$ $$16n + 12 = 28 \Rightarrow 16n = 16 \Rightarrow \boxed{n = 1}$$ Ejemplo 2: El monomio $M_{(x,\,y)} = \sqrt{2}\left[x^{2n+1}y^{n+2}\right]^3$ es de grado 99. Calcular $n$. Solución: $$GA = 3(2n+1) + 3(n+2) = 99$$ $$6n + 3 + 3n + 6 = 99$$ $$9n + 9 = 99 \Rightarrow 9n = 90 \Rightarrow \boxed{n = 10}$$ Ejemplo 3: El monomio $M_{(x,\,y)} = 0{,}7\left[x^{3m-2}y^{11m+5}\right]^3$ es de grado 177. Calcular $m$. Solución: $$GA = 3(3m-2) + 3(11m+5) = 177$$ $$9m - 6 + 33m + 15 = 177$$ $$42m + 9 = 177 \Rightarrow 42m = 168 \Rightarrow \boxed{m = 4}$$